Нарисовать треугольник биссектрису

Закрыть ... [X]

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам. 

      Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

      На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

      Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

      Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.2

      Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

      Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.3

b = |AC|,   a = |BC|,   c = |AB|,   p = |BD|,   q = |DC|.

      Тогда

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Доказательство. Поскольку

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

то

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.4

      Тогда справедлива формула:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Доказательство. Поскольку

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

то

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

      Теорема 2. Рассмотрим рисунок  5, который практически совпадает с рисунком 2.

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.5

      Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Доказательство. Из рисунка 5 следует формула

|EB| = 2c cos α .

      Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.6

и воспользуемся теоремой косинусов:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Следовательно,

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE.

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Рис.7

Доказать, что выполнено равенство:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Поскольку CE – высота, то

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

      Следовательно,

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

что и требовалось доказать.

      Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

      Следствие.  Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Биссектриса треугольника свойства формулы длины биссектрисы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

      У нас также для школьников организованы


Источник: http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Совет 1: Как построить биссектрису треугольника Вязать шнуры спицами

Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису Нарисовать треугольник биссектрису

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ